다양한 감수성, 집단 면역 임계값 및 전염병 모델링에 대한 참고 사항

추상적인

코로나-19 대유행의 전개는 전염병에 대한 수학적 모델을 사용하여 예측하기가 매우 어려웠습니다. 민감성의 변화가 발생률 최고치, 집단 면역 역치, 전염병의 최종 규모와 같은 주요 수량에 감쇠 효과를 갖는 것이 입증되었지만, 이 복잡한 현상은 측정하거나 정량화하는 것이 거의 불가능하며 여전히 불분명합니다. 모델링 및 예측에 이를 통합하는 방법. 이 연구에서 우리는 모델링 관점에서 볼 때 개인 수준의 감수성의 가변성은 "인공" 살균 면역을 가진 인구의 θ 비율과 동일하다는 것을 보여줍니다. 우리는 또한 집단 면역 역치와 전염병의 최종 크기에 대한 새로운 공식을 도출하고 이러한 값이 가변적인 민감성이 있는 경우 고전 공식에 의해 예측된 것보다 실질적으로 낮다는 것을 보여줍니다. SARS-CoV-2의 특별한 경우에는 백신과 이전 감염으로 인한 면역 약화로 인해 이제 의심할 여지 없이 다양한 민감성이 있으며, 우리의 연구 결과는 모델을 크게 단순화하는 데 사용될 수 있습니다. 다수의 연구에서 알 수 있듯이 이러한 변이가 첫 번째 물결 이전에도 존재했다면, 이러한 발견은 SARS-CoV-2의 초기 물결의 규모가 이전에 비해 상대적으로 낮은 이유를 설명하는 데 도움이 될 수 있습니다. 표준 모델을 기반으로 예상했습니다.

cistanche tubeulosa - 면역 체계를 향상시킵니다.

1. 소개

Kermack 및 McKendrick [1-3]의 기본 작업 이후 구획 수학적 모델(예: SIR, SEIR 등)이 전염병 확산을 모델링하는 데 사용됩니다. 무엇보다도 이 논문은 지금까지 유명한 R0-값을 소개하고 인간의 직관과 달리 전염병은 아무리 전염성이 있어도 전체 인구를 감염시키지 않는다는 것을 보여주었습니다. 대신, 회복된 비율이 유명한 공식을 추론한 소위 "군집 면역 임계값"에 도달하면 발생률이 감소하기 시작합니다. 그러나 SARS-CoV-2 대유행 이전에는 그러한 사례가 없었습니다. 이 예측을 테스트할 수 있는 (인간에게 영향을 미치는) 새로운 바이러스의 신뢰할 수 있는 데이터입니다. 불행하게도 이는 폐쇄와 자발적 격리(모델이 예측할 수 없음)가 확산에 큰 영향을 미쳤기 때문에 대체로 그런 경우로 남아 있습니다. 그럼에도 불구하고, 지역사회 감염을 막는 데 상대적으로 거의 노력하지 않은 스웨덴과 같은 곳의 데이터에 따르면 수학적 모델은 대규모 발병 동안 파동의 규모를 과대평가하는 경향이 있음을 나타냅니다[4]. 여러 요인이 모델 곡선에 감쇠 효과를 갖는 것으로 알려져 있습니다. 그러한 예 중 하나는 가변 민감성입니다. 예를 들어 Ch. [5]의 1과 3 및 기사 [6–9]. 여기서 가변 민감성이라는 말은 시간에 따른 개인차가 아니라, 특정 바이러스에 노출되었을 때 감염될 확률에 대한 개인 간의 (시간 불변) 차이를 의미합니다. 연령, 활동량 등 다른 이질성에 대해서도 수치적으로 유사한 결과가 확립되었습니다[10]. 흥미롭게도 가변 감염성(슈퍼 전파자)은 대규모 발병 동안 확산을 억제하는 효과가 없습니다[11]. 어쨌든 이러한 결론은 경험적 논증을 사용하거나 단순히 관련 모델을 테스트하여 도출되며 이러한 현상의 메커니즘은 아직 잘 이해되지 않은 상태입니다. 특히, 민감성의 변동성은 정량화하는 것이 사실상 불가능하기 때문에 이를 모델에 효율적으로 통합하는 방법이 불분명하므로 미래의 코로나19 파동이나 다음 유행병에 대한 예측은 계속해서 큰 과제가 되고 있습니다.

cistanche tubeulosa - 면역 체계를 향상시킵니다.

구체적으로, 전염력 및/또는 감수성의 변동성이 높은 새로운 감염병이 대도시처럼 잘 연결된 네트워크에 유입되어 대규모 발병이 곧 발생할 것이라고 가정해 보겠습니다. 그런 다음 R0, 즉 EpiEstim [12] 또는 [13]을 사용하여 초기 사례의 데이터 시리즈에서 한 감염자가 발생하는 새로운 감염의 평균 수에 대한 대략적인 추정을 추정할 수 있습니다. 접촉자 추적 연구를 통해 SIR 모델을 실행하는 데 필요한 또 다른 매개변수인 생성 시간 Generation을 추정할 수도 있습니다. 이러한 시나리오에서는 간단한 SIR 시뮬레이션의 결과가 비약물적 개입 없이 앞으로 일어날 일에 대한 좋은 1차 근사치인지 질문할 수 있습니다. 공식 (1)은 발병이 언제 줄어들 것으로 예상되는지에 대한 좋은 지표입니까? 코로나19(COVID-19) 대유행 당시 스웨덴의 데이터에 따르면 대답은 '아니오'인 것 같습니다. [4]에서 발생률이 예기치 않게 (1)에서 예측한 것보다 훨씬 낮은 혈청 유병률 수준으로 감소한 것으로 나타났습니다. 이 주제에 대한 이전 이론적 연구 중에서 위 질문에 가장 가까운 답변은 Britton et. 알. [10]에서 저자는 (1)에 기초한 고전적 추정치와 비교하여 활동 패턴의 변화가 집단 면역 역치를 상당히 낮출 수 있음을 증명했습니다. 유사한 메시지가 포함된 이전 출판물은 [14]입니다. 그러나 이러한 결론은 인구 이질성을 통합하기 위해 구축된 모델을 기반으로 한 경험적 관찰입니다. 이러한 감쇠 효과는 수학적으로 확립되지 않았으며 다양한 이질성이 어떻게, 어느 정도까지 나타나는지 불분명합니다. 특히, 집단 면역 역치를 보다 정확하게 예측하는 방법은 아직 불분명합니다. SARS-CoV-2의 경우 유전적, 교차 반응성 면역, 선천성 면역과 같은 여러 요인이 감수성에 변화를 제공하는 것으로 나타났습니다[15-18].

cistanche tubeulosa - 면역 체계를 향상시킵니다.

Cistanche Enhance Immunity 제품을 보려면 여기를 클릭하십시오.

【추가 요청】 이메일:cindy.xue@wecistanche.com / Whats App: 0086 18599088692 / Wechat: 18599088692

1.1 새로운 공헌

이 연구에서 우리는 민감성의 변화가 모델 곡선에 감쇠 효과를 갖는 반면 감염성의 변화는 그렇지 않다는 것을 수학적으로 증명합니다(전자와 상관관계가 없는 한, [7] 참조). 더 중요한 것은 민감도가 어떻게 변하는지 설명하는 (일반적으로 알려지지 않은) 분포가 정확한 모델링에 필요하지 않다는 것입니다. 보다 정확하게는 감수성 이질적 모델이 인구의 일부가 살균 면역성을 갖고 있는 표준(균질) SIR 모델과 거의 동일하게 동작하며 감수성 분포의 정확한 모양이 살균 면역 수준에만 영향을 미친다는 것을 보여줍니다. 이러한 면역은 수학적 모델 단순화 내에서만 존재하며 일부 개인의 실제 살균 면역과 혼동되어서는 안 된다는 점을 강조하는 것이 중요합니다. 즉, 모든 사람이 어느 정도 바이러스에 감염되기 쉽다고 하더라도 인구 수준에서는 인구의 일부가 살균 면역을 갖고 있는 것처럼 보일 것입니다. 우리는 정확한 수학적 모델링에 필요한 이러한 면역을 "인공 살균 면역"(ASI)으로 지칭하고 이를 갖는 인구의 비율을 θ로 지칭합니다. θ가 이용 가능한 데이터로부터 추정될 수 있는 한, 실제 면역 임계값은 실제로 (1)이 예측한 것보다 낮다는 것을 보여줍니다. 다양한 민감도가 있는 경우 올바른 공식은 다음과 같습니다.

그리고 대유행의 최종 규모도 동일한 요인(1 − θ)만큼 축소됩니다. 우리는 또한 Britton 등이 고려한 것과 같은 다른 인구 이질성을 수치적으로 증명할 것입니다. 알. [10]은 유사한 효과를 가지며 따라서 이 논문의 결과는 질병 확산에 대한 보다 현실적인 이질적 모델에서 미지의 수를 크게 줄이는 데 사용될 수 있습니다.

2 전염병 확산 역학의 수학

수학적 결과를 설명하기 위해 먼저 기본 모델이 작동하는 방식에 대한 개요를 제공합니다. SIR은 Susceptibles, Infectives, Recovered를 의미하며 수학적 역학에 사용되는 "구획 모델"의 가장 간단한 형태입니다(이 분야에 대한 소개는 [19] 참조). 모델에서 S, I 및 R은 시간 t의 함수이며 이들이 어떻게 관련되어 있는지 설명하기 위해 발생률, 즉 매일 새로 감염되는 양을 설명하는 (중복) 함수 ν도 도입합니다(혼동하지 마세요). 유병률을 설명하는 I와 함께). ν(t)에 대한 공식은 알고리즘의 핵심이며 처음에는 단순히 ν(t)=I(t)만 있습니다. 여기서 는 평균 감염 사례 수를 결정하는 상수입니다. 하루 동안 발생합니다. a가 평균적인 사람의 일일 잠재적 감염 가능성 접촉 평균 횟수이고 p가 그러한 접촉이 실제로 전염으로 이어질 확률인 경우=ap. 취약한 사람의 수가 점차 감소함에 따라 우리는 여전히 취약한 인구의 비율을 곱하여 이를 수정해야 합니다. 전체 인구가 N인 경우 이 비율은 S(t)/N이고 공식은 다음과 같습니다.

나머지 방정식을 설정하려면 생성 시간 T세대, 즉 감염에서 회복까지 걸리는 평균 시간도 필요합니다. 나머지 방정식은 다음과 같습니다.

여기서 σ {{0}}/T세대 및 0은 차별화를 나타냅니다. 방정식은 직관적으로 이해하기 쉽고, 발생률은 S에서 지속적으로 철회되고 I에 추가되며 동시에 I의 비율로 σI를 떠나 대신 R에 나타나는 개체를 회복하는 흐름이 있습니다.

그림 1. 회복된 R 및 유병률 I의 그래프. (a) 다양한 SIR 모델 및 R0=1.66의 고정 값에 대한 회복된 그래프(전체 인구의 일부). 먼저 표준 SIR을 표시한 다음 S-SIR을 표시하고 마지막으로 (8)의 매개변수를 사용하여 인공 살균 면역(ASI)을 갖춘 SIR을 표시합니다. 그들은 거의 동일하게 시작하지만 후자의 두 개는 첫 번째 것보다 훨씬 일찍 아래쪽으로 구부러져 고전적인 집단 면역 임계값(HIT)을 초과하는 반면, 두 번째 두 개는 밀접하게 함께 유지되고 고전적인 HIT 아래에서 수평을 이룹니다. (b) 유병률 I에 대한 해당 곡선(S그래프는 그림 2에 독립적으로 표시됨).

SIR과 그 확장은 두 번 실행해도 출력이 동일하다는 점에서 결정적입니다. 이러한 모델은 대수의 법칙이 적용되는 대규모 발병 중에 잘 작동하는 것으로 여겨집니다[5, 11]. 우리가 발견한 모든 것은 이 상황과 관련이 있습니다. 예를 들어 초기 단계 또는 가정용 전송 등의 모델링을 위해 다른 유형의 모델이 사용됩니다. 새로운 질병에 대한 가장 자연스러운 초기 조건은 I(0)=n을 설정하는 것입니다. 여기서 n << N represents a small number of import cases arriving at time t = 0, and then set S(0) = N − n and R(0) = 0 (so everybody else is initially susceptible and no-one has yet recovered). The value of n is completely irrelevant to the shape of the curves that follow, a low value of n only gives the equation system a slower start so it takes a while longer for the outbreak to reach a certain value. Once this happens, the curves look the same independent of the value n. See the blue graphs in Fig 1 for some typical examples of R-curves and I-curves. In this model, R is always increasing and levels out on a number which is called "the final size of the pandemic" (see Fig 1a). S approximatively looks like N − R, since the prevalence I at any given time is small in comparison with the total population. The incidence ν typically looks just like I, albeit with a lower magnitude.

2.1 코로나19에 대한 최신 모델-19

전문 모델링 팀이 사용하는 최신 모델에는 일반적으로 연령 계층화, 다양한 활동 수준, 지리적 지역, ICU가 필요한 사람을 위한 구획, 사망한 사람을 위한 구획과 관련된 SIR보다 더 많은 구획이 포함되어 있습니다. 예를 들어 임페리얼 칼리지 코로나{{0}} 대응 팀[20]의 구성원이 발표한 모델은 기본 SIR을 기본으로 합니다([9페이지 및 보충 자료의 S2 그림 참조). 20]), 유명한 스웨덴 모델링 팀이 사용하는 모델[21]도 마찬가지입니다. 이 팀은 스웨덴의 첫 번째 물결 동안 ICU 점유 및 사망을 높은 정확도로 맞추었습니다. 후자 모델도 다양한 지역과 이들 간의 상호 작용 패턴을 고려하지만 지역 내 역학은 단순한 SEIR입니다. 잠복 시간을 포함하여 "노출"에 대한 구획 E를 추가하는 것도 일반적입니다(실제로 위의 두 예에서 수행됨). 그러나 섹션 4에서 볼 수 있듯이 이는 전체 동작에 제한적인 영향을 미칩니다. 이는 SEIR에 대한 모든 매개변수 값 세트(R0, 배양 시간 등)에 대해 매개변수를 변경할 수 있다면 SIR과 거의 동일한 곡선을 얻을 수 있음을 의미합니다(그 반대도 마찬가지). 약간의 가치가 있습니다. 이러한 매개변수의 정확한 값은 결코 알려지지 않았기 때문에 이는 실용적인 목적을 위해 최소한 전반적인 추세를 이해하기 위해 SEIR뿐만 아니라 SIR에도 의존할 수 있음을 의미합니다. 예를 들어, 그림 3에는 R0-값이 1%씩 다른 SEIR과 SIR의 예가 나와 있으며 그래프는 거의 동일합니다. 예를 들어, 대유행의 최종 규모는 1.5% 미만의 차이만 납니다. 더욱이 중증 질환 및 사망과 관련된 구획도 전반적인 행동에 미미한 영향을 미칩니다. 왜냐하면 감염자의 극히 일부만이 이러한 구획에 들어가게 되기 때문입니다. 이를 바탕으로 우리는 여기서 관심을 갖고 있는 일반적인 전반적인 행동을 이해하기 위해서는 더 간단한 SIR 모델을 연구하는 것으로 충분하다고 주장합니다. SIR/SEIR 유형 모델을 사용하여 SARS-CoV-2를 예측/모델링하려는 다른 시도는 예를 들어 [22, 23]을 참조하세요.

대조적으로, 다양한 활동 수준 및 연령 그룹 간의 서로 다른 상호 작용 패턴과 같은 다른 유형의 이질성은 모델 곡선에 눈에 띄는 감쇠 효과를 갖습니다. 예를 들어, Britton et. 알. [10]은 유사한 입력 매개변수가 주어지면 표준 SIR보다 약 35% 더 낮은 입사 피크를 갖습니다. 이는 SIR을 기반으로 한 예측(1)과 비교하여 연령 활동 모델에서 집단 면역 임계값이 약 30% 감소한 것으로 관찰된 [10]의 결과와 일치합니다. 이에 대해서는 섹션 4.2에서 더 자세히 논의할 것입니다. 또한 가변 민감도가 큰 영향을 미치지만 이는 서론에서 이미 논의했으며 섹션 3에서 추가로 분석합니다.

2.2 모델과 현실의 불일치?

보다 발전된 모델이 코로나-19의 확산을 정확하게 설명하는지 여부를 판단하기는 어렵습니다. 비약물적 개입(NPI)과 자발적인 행동 변화가 큰 영향을 미쳤다고 항상 주장할 수 있기 때문입니다. 명확한 답을 갖고 있다고 주장하지는 않지만, 스웨덴의 사례는 2020~2021년 동안 거의 일정하게 유지된 완화된 전략으로 인해 흥미롭습니다. 특히, 학교는 계속 문을 열고, 집에서 일할 수 없는 사람들은 출근을 장려하고, 감염된 가구의 가족은 일하거나 학교에 가야 하며, 마스크를 광범위하게 사용하지 않는 이상적인 국가를 만들었습니다. 모델을 실제 데이터와 비교하기 위한 것입니다. 테스트가 충분하지 않아 사례 시계열의 가치가 제한되어 있지만, 코로나19에 걸린 대부분의 사람들이-19 항체도 생성된다는 사실이 확인되었기 때문에 혈액 샘플의 혈청 유병률 측정은 귀중한 정보를 제공합니다. 24] 그리고 이러한 항체는 최소 9개월 동안 유지된다[25, 26]. 스웨덴 공중 보건국이 발표한 결과[27]에 따르면 2020년 첫 번째 물결 이후 스톡홀름 지역에서 대략 11%가 코로나19에 걸렸으며, 두 번째 물결 이후 2021년 2월에는 그 비율이 약 22%로 증가했습니다. 또한 스웨덴의 병원 직원(안면 마스크를 사용하지 않음) 사이에서 유병률은 첫 번째 물결 이후 약 20%였으며[26], 이는 다른 곳의 감염된 가구에서 관찰한 것과 일치합니다[28].

cistanche tubeulosa - 면역 체계를 향상시킵니다.

그러나 Sjo¨din et. 앞서 언급한 al.은 0~59세 사이의 접촉이 56% 감소하고 0~59세 사이의 접촉이 98% 감소한다고 가정함에도 불구하고 첫 번째 물결 이후 약 30%의 누적 감염자 수를 예측합니다. 60~79세(이는 ICU 수용 및 사망에 정확하게 맞는 시나리오 d에 대한 것입니다. 스톡홀름 지역에는 240만 명의 주민이 있다는 점을 염두에 두고 그림 2b를 참조하십시오.) 같은 맥락에서 Britton et. 알. [10]은 이 질병이 몇 달 안에 전체 감염률의 약 43% 수준으로 사라질 수 있다고 추정했습니다. 저자는 이것이 실제 예측은 아니지만 코로나19에 대한 현실적인 매개변수를 기반으로 한다고 강조합니다-19. 임페리얼 칼리지(Imperial College)의 유명한 보고서 9[29]에서는 가족 접촉도 별도로 처리하는 소위 "에이전트 기반 모델"이라는 고급 기술을 기반으로 "아무것도 하지 않는" 시나리오에서 총 81%의 감염자가 발생할 것으로 예측했습니다. 보고서의 표 3에 따르면 가장 효과적인 NPI 시나리오에서는 사망자 수와 ICU 최고 수용 능력을 각각 50%와 81%까지 줄일 수 있으며 이는 확실히 스웨덴에서 구현된 것 이상입니다. 그러나 원래 우한 균주가 감소하고 있던 2021년 2월 현재[30], 이러한 감소된 예측은 실제 수치를 대략 4(사망) 및 10(ICU)(스톡홀름 카운티로 직접 환산할 때)만큼 과대평가합니다.

그림 2. 민감도 S 그래프. 그림 1의 3개 그래프에 해당하는 S-곡선. 그림 1에서와 같이 파란색 검정색과 분홍색은 N으로 나누어 정규화되었습니다. 따라서 검정색 곡선은 전체 인구에서 차지하는 비율을 나타냅니다. 바이러스에 취약합니다. 팬데믹이 끝난 후에도 약 68%가 여전히 취약한 상태이며, 이는 약 34% 수준인 기존 SIR과 완전히 대조적입니다. 분홍색 곡선은 57%가 인공살균 면역력을 가지고 있다고 가정하여 시작하므로 초기값은 43%이다(이 숫자는 식 (8)을 사용하여 선택됨). 분홍색 곡선은 수직 이동을 제외하고 검은색 곡선과 똑같아 보이며 이 기사의 주요 결과를 보여줍니다. S-SIR 모델에는 p1=1("초 민감성"으로 레이블 지정), p2=0.1("정상"으로 레이블 지정) 및 p{{에 해당하는 세 개의 하위 그룹 S1, S2 및 S3이 있습니다. 17}}.02('잘 보호됨' 라벨 표시). 여기서 우리는 각 하위 그룹의 사람들 수로 정규화했으므로 모든 곡선은 1에서 시작합니다. 후자의 두 하위 그룹의 확산이 매우 취약한 그룹에서 평준화되자마자 어떻게 평준화되는지 주목하세요.

여기서의 요점은 특정 모델을 비판하려는 것이 아니며, 앞서 언급한 것처럼 스웨덴의 사례만으로는 모델이 옳고 그름을 증명할 수 없다는 것이 분명합니다. 그러나 실제 스웨덴 데이터와 위에서 설명한 다양한 모델 결과 사이의 엄청난 불일치를 기반으로 "현대 모델"이 대유행의 사회 확산과 최종 규모를 상당히 과대평가하는 경향이 있는지 여부는 타당한 질문입니다. 우리는 대답이 '예'일 가능성이 높으며 이 가설에 대한 추가 지원은 [4]에 나와 있습니다. 이 논문에서 우리는 가변적인 민감성이 이 현상에 기여하는 한 가지 요소임을 보여줍니다.

2.3 사전면역, 슈퍼전파자 및 기타 불균일성

곡선을 완화하기 위해 방정식 시스템 (3)과 (4)를 어떻게 변경할 수 있습니까? 가장 간단한 선택은 인구의 특정 부분 θ가 바이러스에 감염되지 않도록 어떤 형태로든 살균 면역을 가지고 있다고 가정하는 것입니다. 수학적으로 이는 초기 조건을 다음과 같이 업데이트하여 쉽게 달성할 수 있습니다.

여기서 Ω {{0}} − θ는 초기에 취약한 비율입니다. 그러나 면역은 일반적으로 이진법이 아니기 때문에, 즉 0% 또는 100%(소위 살균 면역)가 아니기 때문에 이는 매우 현실적이지 않습니다. 어떤 사람들이 다른 사람들보다 더 취약하다는 가설은 이진 면역보다 훨씬 더 타당합니다. SARS-CoV-2의 특별한 경우, 특정 개인이 어떤 형태로든 사전 면역 상태를 가지고 있다는 가설은 적어도 일부에 따르면 예상치 못한 경미한 초기 감염 파동에 대한 설명으로 다양한 출판물에서 제안되었습니다. 인스턴스 [31]. 이 논문은 또한 일부 사람들이 선험적으로 T 세포 면역을 갖고 있음을 보여주는 여러 연구를 나열합니다. 그 이후로 다양한 기사에서는 특정 개인을 SARS-CoV에 다소 취약하게 만드는 다양한 메커니즘을 보여주었습니다-2(예: [15–18]). 앞서 언급한 것처럼 감염성 수준이 극적으로 다양하다는 것도 잘 알려져 있습니다(예: [32] 참조). 게다가 이것은 그들이 얼마나 아픈지와 상관관계가 없는 것 같습니다. 바이러스 수치가 매우 높은 많은 개인은 증상이 나타나지 않는 경우도 있습니다. 이에 비추어 볼 때, 가장 유력한 가정은 바이러스가 인간에게 유입되는 방식이 개인차가 크다는 것입니다.

코로나-19 확산 또는 해당 문제에 대한 전염병에 대한 보다 현실적인 모델을 만들기 위해 구획 S와 I를 여러 하위 구획 S1, 로 나누는 것이 합리적입니다. . ., SJ 및 I1, . . ., IK에서는 각 구획에 있는 사람들의 감수성/감염성 수준이 다릅니다. 질병 확산에 대한 해당 방정식 시스템을 설정하는 방법을 보려면 a가 한 개인의 일일 접촉 횟수라는 점을 기억하십시오. 이제 Sj의 개인이 Ik의 개인을 만날 때 그러한 접촉이 전송으로 이어질 확률을 pjk로 설정합니다. 그룹 Sj에서 나오는 발생률 νj는 다음과 같습니다.

(참조 (3)). 감염성과 감수성 사이에는 상관관계가 없다고 가정하므로 새로운 감염자의 총량 ν1 + . . . + νJ는 그룹 I1, … . ., 상대적 크기에 따른 IK. (4)의 나머지 방정식은 이 새로운 벡터 설정으로 쉽게 수정됩니다. 자세한 내용은 S1 파일의 1을 참조하세요. 다음 섹션에서는 이 방정식 시스템의 동작을 분석하고, 섹션 4에서는 SEIR 및 가변 활동 수준과 같은 다른 확장에 대해서도 논의합니다.

3 주요 결과

이 연구의 주요 요점은 위에서 언급한 유형의 SIR과 SEIR 모두에 대한 확장이 인공 살균 면역(ASI) 수준이 포함된다는 점을 고려할 때 기본 SIR과 약간만 다른 전체 곡선을 생성한다는 것입니다. 우선, S1 파일의 섹션 1에서 세부 사항을 설정한 후 우리는 명제 1.1에서 I를 다양한 하위 구획으로 나누는 것이 전혀 효과가 없음을 증명하여 [8, 9, 11]의 결론을 더욱 뒷받침합니다. 즉, "슈퍼 전파자"의 존재는 질병 확산의 역학에 어떤 눈에 띄는 영향도 미치지 않습니다. 이러한 복잡성 계층을 제거하면 식 (6)은 다음과 같이 단순화됩니다.

여기서 pj는 그룹 Sj의 감수성이 있는 사람이 "평균" 감염자를 만날 때 전염될 확률입니다. 전체 방정식 시스템에 대해서는 S1 파일의 방정식 (14)-(16)을 참조하며, "Susceptibility-Stratified SIR"을 S-SIR로 표시합니다. S를 하위 구획으로 나누는 것이 I와 달리 수학적으로 더 간단한 방정식 시스템으로 더 이상 축소될 수 없다는 것은 매우 흥미로운 사실입니다. 그러나 이것이 이 논문의 주요 결과입니다. S-SIR의 전반적인 동작(유병률 I 및 복구된 R 측면에서)이 포함 시 기본 SIR(3) 및 (4)와 약간만 다르다는 것을 수학적으로 증명할 수 있습니다. (5)에서 했던 것처럼 초기 조건에 ASI를 적용합니다. 이것이 S1 파일의 섹션 2에 있는 정리 2.1의 핵심입니다. 주어진 확률 p1, . . ., pJ에 따르면 이 정리는 또한 투과 계수((3)에서 발생률 ν를 계산하는 데 사용됨)와 인공 살균 내성 θ(초기 조건(5)에서 사용됨)의 적절한 값에 대한 공식을 다음과 같이 제공합니다.

여기서 Ω {{0}} − θ이고 wj는 처음에 Sj에 속한 인구의 비율입니다. wj=Sj(0)/N. 이러한 결과에 대한 간단한 그림은 S1 파일의 섹션 1.3에 나와 있습니다. θ=1 − Ω를 실제로 살균 면역을 가진 사람의 일부로 해석하는 데 주의하는 것이 중요합니다. 실제로는 θN 면역과 ΩN 감수성의 구분이 없기 때문입니다. 약어 ASI를 선택했습니다. 인공살균면역. 이러한 결과는 그림 1과 2에 나와 있습니다. 특히 놀랍게도 가장 취약한 민감성 그룹(그림 2에서 초감수성 그룹으로 표시됨)에서 감염시킬 새로운 개체가 없어지자마자 다른 모든 그룹의 전파는 다음과 같이 중단됩니다. 잘. 이 동작은 일반적입니다. 다른 값을 사용한 유사한 예는 S1 파일의 S1 그림을 참조하세요. 우리는 SEIR로 모델링할 때와 다음 [10]에 따라 다양한 연령 그룹과 다양한 활동 수준을 포함할 때에도 동일한 현상을 관찰했습니다. 이러한 레이어가 많은 모델은 ASI를 사용한 SIR의 출력과 실질적으로 구별할 수 없는 출력을 생성합니다(예: (3)-(5)). 우리는 섹션 4에서 더 자세히 논의할 수치적 관찰을 남깁니다. 특히, 한 사회에서 추정된 ASI θ 수준을 고려할 때 연령과 행동의 불균일성으로 인해 θ가 얼마나 많이 발생하는지에 대한 결론을 도출하는 것은 수학적으로 불가능합니다. 그리고 감수성의 변화에서 얼마나 많은 것이 나오는지. 덧붙여서, 각 논문[1-3]의 끝에서 Kermack과 McKendrick은 그들의 모델의 약점은 그들이 많은 경우에 비현실적이라고 생각하는 균일한 민감성을 가정한다는 점을 강조합니다. 그러나 그들은 이 문제를 해결하지 못한 것으로 보이며 우리는 문헌의 다른 곳에서도 이 상황을 처리하는 방법에 대한 엄격한 수학적 분석을 찾지 못했습니다. 특히, 그들의 독창적인 논문에서 유래한 무리 면역 임계값(HIT)에 대한 공식 1 − 1/R0은 [10]에서 제안된 것처럼 매우 부정확할 수 있습니다. 다음 섹션에서는 ASI를 고려하여 이 공식의 개선된 버전을 도출합니다.

3.1 R0 및 집단 면역 임계값에 대한 공식

세대 시간 T세대(아래 (3)에 소개됨)가 감염된 개인이 감염성을 유지하는 평균 시간과 일치한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 는 감염률이므로 완전히 취약한 인구를 가정하여 표준 SIR(3) 및 (4)에 대한 R{1}} 세대라고 결론을 내립니다. 그러나 ASI θ가 있는 경우 실제 감염률은 (1 − θ)에 불과하므로 R0- 값에 대한 올바른 공식은 다음과 같습니다.

R{{0}}에 대한 위의 값은 초기 값을 사용하여 모델 (3) 및 (4)에 의해 생성된 실시간 계열에서 EpiEstim [12] 또는 [13]에 의해 추정되는 값입니다. 데이터 (5). 수학적으로 R0는 질병 유발 면역이 형성되기 전에 감염된 한 개인이 일으키는 새로운 감염 수로 정의됩니다. (이를 계산하려면 먼저 I(0)=1가 주어지면 I 0 (t) {{10}} −σI(t)를 풀어서 σ {{13} }/T세대를 생성한 다음 S(t)를 S(0)=ΩN으로 고정하면서 (3)에 의해 주어진 결과 발생률 ν를 적분합니다. 마찬가지로 유효 R-값은 다음과 같습니다. 위 모델에서 Re(t)로 표시되는 것은 다음과 같습니다.

"집단면역"이라는 용어는 다양한 의미를 지닙니다[33]. 수학적 역학에서 특정 모델과 새로운 바이러스가 주어졌을 때 집단면역 임계값은 Re(t0)=1를 달성하는 데 필요한 감염 및 회복의 총 수로 정의됩니다. 부터

(상기 (4)), 이는 감염의 물결이 자연적으로 물러나기 시작하는 시점과 일치함을 알 수 있습니다. 이 시점을 넘어선 수입 사례는 새로운 발병을 촉발하지 않습니다. 이 값을 HIT로 표시합니다.

SIR 모델에서는 개인이 균일하게 혼합되어 있고 회복된 개인이 보호 항체(즉, 살균 면역)를 가지고 있다고 가정합니다. 적어도 SARS-CoV-2의 경우 시간이 지남에 따라 항체가 약해지는 것으로 알려져 있지만 이러한 약함은 발병 기간보다 훨씬 느리게 발생하므로 [25] 후자의 가정은 다음과 같은 논의에 합리적입니다. 더 짧은 시간 내에 집단 면역 임계값을 달성할 수 있습니다. 그러나 우리는 쇠퇴한다는 것은 집단 면역이 결코 안정적인 상태가 아니며 시간이 지남에 따라 사라질 것이라는 점을 강조하고 싶습니다. 따라서 특정 파동 동안 집단 면역이 달성된다는 사실은 다음 중 하나로 인해 발생할 수 있는 미래의 파동을 방지하지 못합니다. 항체가 약해지거나 새로운 변종의 출현. 이제 특정 수준의 ASI를 갖춘 SIR 모델이 특정 발병을 정확하게 설명한다고 가정합니다. 그러면 집단 면역 임계값 HIT는 S(0)/N − S(t0)/N과 같습니다. 여기서 t0는 집단 면역 임계값에 도달하는 시점입니다. 이는 Re(t{{10}})=1를 풀어서 찾을 수 있습니다. 즉, HIT는 집단 면역에 도달한 시점 t0 시점의 감수성 비율 S(t0)/N과 초기 감수성 비율 간의 차이입니다. ASI를 사용한 SIR 모델에서 Re(t0)=1를 풀면 방정식 S(t0)/N=1/가 생성됩니다.

T세대, 그래서 우리는 추론합니다

여기서 우리는 R0의 정의로 이전 공식(9)을 사용했습니다. 이는 서문의 식(2)에 제시된 집단면역 역치에 대한 공식이다. 이는 예를 들어 EpiEstim의 R0 추정치가 주어진 고전 공식(1)이 집단 면역 임계값을 과대평가하고 있음을 의미합니다. 더 중요한 것은 ASI 매개변수 θ=1 − Ω가 사용 가능한 데이터로부터 추정될 수 있다는 점을 고려하면 HIT를 예측할 수 있다는 것입니다. 고전 공식이 오해의 소지가 있다는 점은 [14] 이전에 지적되었으며, HIT가 값 (1)보다 상당히 낮을 수 있음을 나타내는 보다 최근의 기여는 [10]입니다. 이러한 연구는 이질성(가변적 민감성이 아닌 주로 사회적 혼합 패턴)을 포함하는 모델을 테스트하여 이를 설명하므로 HIT의 실제 추정에 대한 지침을 거의 제공하지 않습니다. 공식 (2)는 우리가 아는 한 이 효과에 처음으로 수학 공식이 부여된 것입니다. 요약하자면, 우리는 ASI를 사용하는 모델 SIR에서 집단 면역 임계값에 대한 새로운 공식을 추론했습니다. 섹션 3의 결과는 이것이 민감도 계층화 SIR에 대한 좋은 근사임을 암시하므로 위 공식은 이 모델에도 적용되며 Ω는 (8)로 제공됩니다. 섹션 4에서 우리는 동일한 결론이 다른 이질성에 대해서도 적용되는 것으로 보인다는 것을 수치적으로 보여줍니다. 따라서 이 공식은 더 일반적으로 집단 면역 역치를 추정하는 데 더 나은 대안이 될 수 있습니다(θ 값이 사용 가능한 데이터에서 추론될 수 있다고 가정). ). 면역이 자연 확산에 의해 달성된다는 가정하에 (10)이 적용된다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 백신 접종을 위한 집단 면역 임계값은 여전히 ​​S1 파일의 섹션 1.2에 표시된 고전 공식(1)(백신이 살균 면역을 제공한다고 가정)에 의해 제공됩니다. 이는 백신 접종을 통해 집단 면역을 달성하는 것이 더 어렵다는 것을 의미하지만 실제로 이러한 결과를 확립하려면 더 많은 연구가 필요합니다.

3.2 팬데믹의 댐핑과 최종 규모

앞서 언급했듯이 여러 연구에서는 다양한 민감성이 유병률을 저하시키는 효과가 있음을 확인했습니다. 위의 결과를 통해 이제 이를 정량화할 수 있습니다. ð~S; ~나; ~ RÞ는 균질하고 완전히 민감한 모집단(따라서 ~Sð{0}}Þ ¼ N)에서 SIR에 대한 솔루션이며 ~a를 해당 전송 속도로 둡니다. ASI θ의 고정 값이 주어지면 ðS를 쉽게 알 수 있습니다. 나; RÞ ¼ ðo~S; 오~나; o~ RÞ는 (3)–(5)에 대한 해입니다. 여기서 Ω=1 − θ 및 a ¼ ~a=o입니다. 따라서 ASI의 효과는 실제로 표준 SIR 곡선의 크기를 조정하는 것에 지나지 않습니다. 재조정은 R0의 값을 변경하지 않는다는 점에 유의하십시오. 이는 공식 (9)로 인해 두 경우 모두 세대 ¼ ~ aT세대로 제공됩니다. 일반적인 SIR(및 SEIR)에서 대유행의 최종 크기 ~p ¼ ~ Rð1Þ=N은 다음과 같이 계산된다는 것은 잘 알려져 있습니다.

따라서 ASI를 사용하여 Susceptibility-Stratified SIR을 SIR로 감소시키는 것에 대한 주요 결과와 결합하여 위의 솔루션 π가 (8)에 의해 주어진 Ω를 사용하여 S-SIR에 대한 대유행의 최종 크기에 대한 좋은 근사치라고 추론합니다. .

4 보다 일반적인 모델로의 확장

코로나-19와 같은 질병의 경우 잠복기가 짧고 감염 기간이 더 짧기 때문에 SIR을 사용한 모델링과 SEIR을 사용한 모델링 사이에는 약간의 차이만 있으므로 이 논문의 주요 결론은 다음과 같습니다. 이 모델에도 마찬가지입니다. 마찬가지로, 우리는 ASI를 통합하면 다양한 연령과 활동 수준을 고려하는 고급 SEIR 모델이 SIR처럼 작동한다는 것을 수치적으로 발견했습니다. 우리는 이러한 관찰에 대한 공식적인 검증을 공개적인 추측으로 남겨두고 몇 가지 예를 보여주는 것으로 만족합니다.

4.1 SEIR

SEIR에는 R0 외에 Tinfectious와 Tincubation이라는 두 가지 주요 매개변수가 있습니다. 여기서 전자는 사람이 감염되는 평균 시간이고 후자는 사람이 감염되는 시점부터 감염될 때까지의 시간입니다. 이에 대한 추정치는 다양하며 여기서는 Britton et. 알. [10] Tincubation=4 및 Tinfectious=3를 설정합니다. 그러면 생성 시간은 다음과 같습니다.

여기서 세대 시간은 한 사람이 감염되는 시점부터 그 사람이 다른 사람을 감염시킬 때까지 걸리는 평균 시간입니다(정식 유도에 대해서는 [30]의 보충 자료에 있는 식 (5) 참조). 이는 이전 섹션의 T Generation 선택과 일치합니다. SEIR과 SIR이 코로나-19에 대해 거의 동일한 결과를 제공하는 이유는 둘 다 주로 Generation과 R0의 값에 의해 결정되기 때문입니다. 즉, 대규모 발병 중에는 사람이 7일 동안 아프고 그 7일 동안 R0명을 감염시키는지, 아니면 4일 동안 잠복기를 거친 후 R{{11} 남은 3일 동안 }명. 예를 들어 그림 3(a)를 살펴보겠습니다. 위 공식(R0 고정)에 따라 SIR 및 SEIR에 대한 매개변수를 선택하면 매우 유사한 동작을 볼 수 있습니다. 더욱이, 자유 매개변수를 허용함으로써 SIR은 SEIR과 거의 동일하게 동작하도록 만들 수 있습니다(ASI를 포함하지 않더라도). 이 주장을 뒷받침하기 위해 그림 3의 파란색과 검은색 곡선 사이의 거의 완벽한 중첩은 아니지만 재생을 고정하고 R0을 1% 수정하여 얻은 것입니다. 입력 매개변수의 정확한 값은 실제로 알 수 없기 때문에 적어도 SARS-CoV-2 및 유사한 특성을 가진 바이러스를 모델링하는 데 SIR을 사용하는지 SEIR을 사용하는지 여부는 관련이 없다고 주장합니다. 따라서 비록 수학적으로 이를 확립할 수는 없더라도 이 논문의 관찰은 SEIR에도 적용되어야 합니다.

4.2 이종 모델

가변적 민감성은 거시적 수준에서 ASI로 나타날 수 있는 인구 이질성의 유일한 유형은 아닙니다. [10]에서 저자는 다양한 연령 그룹 간의 다양한 상호 작용 패턴과 각 연령 그룹의 사람들이 다양한 접촉량을 가지고 있다는 사실을 고려하여 이질적인 SEIR 모델을 개발했습니다. 우리는 해당 모델을 구현한 다음 유사한 출력을 생성하는 ASI를 사용하여 SIR에 대한 매개변수를 찾았습니다. 그 결과는 그림 3(b)에 나와 있다. 다시 말하지만, 그 차이는 너무 미세해서 실제로는 발견하기가 불가능합니다. 이후 수학적 모델에서 특정 수준의 인구 (사전)면역으로 나타날 수 있는 것은 실제로 다양한 인구 이질성이 혼합된 것일 수 있으며, 여기서 가변적인 민감성은 단지 하나의 요소일 뿐입니다.

그림 3. ASI와 SIR을 사용한 근사치. (a) R0=1.66 및 Tinfectious + Tinfective=7(파란색)가 포함된 SEIR, 동일한 R0 및 T Generation=7(빨간색)이 포함된 SIR, 마지막으로 SIR 1% 더 낮은 R0, 동일한 T세대(검은색). (b) R{{1{15}}}}.66 및 Tinfectious + Tinfective=7(파란색)으로 연령 활동 계층화된 SEIR; 동일한 T세대를 사용하지만 ASI는 25%이고 약간 다른 R0(검은색)을 사용하는 SIR입니다.

5 토론

특정 사람들이 다른 사람들보다 새로운 바이러스에 감염되기 쉬운 데에는 선천성 및 적응성 면역부터 알려진 다른 바이러스의 교차 반응성 면역, 유전적 차이에 이르기까지 다양한 이유가 있을 수 있습니다. 새로운 질병의 경우 사전 면역, 즉 바이러스에 감염된 적이 없이 완전히 면역된 개인을 살균하는 것은 존재하지 않을 가능성이 높습니다. 이 연구의 핵심은 ASI라고 불리는 인구 수준에서 살균 면역처럼 보이는 것을 관찰하기 위해 개인 면역을 살균하는 것이 필요하지 않다는 것입니다. 인공살균면역. 우리는 ASI를 갖기 위해서는 민감도의 적당한 변화만 필요하다는 것을 수학적으로 보여줍니다. 더욱이, 우리는 가변적인 사회적 혼합 패턴과 같은 다른 유형의 인구 이질성도 ASI로 나타난다는 것을 수치적으로 보여줍니다.

시스탄체 식물의 면역 체계 증가

이 논문의 결과는 SARS-CoV-2에만 국한되지 않고 기본적으로 Kermack 및 McKendrick의 유명한 논문에 뿌리를 둔 집단 면역 역치에 대한 고전 공식과 전염병 확산 모델을 보여줍니다. ]는 감수성에 큰 변동이 있는 전염병을 모델링할 수 없으며 섹션 3.1에 설명된 대로 수정해야 합니다. 집단 면역 역치 HIT의 추정은 효율적인 질병 통제 관리 및 계획에 중요합니다. 예를 들어, 사회가 HIT에 도달하기 전에 폐쇄하기로 결정한 경우 NPI가 무기한 유지되지 않는 한 질병이 다시 나타날 것이 거의 확실합니다. 고전 공식(1)은 잘못된 표시로 이어질 수 있는 지나치게 단순화된 여러 가정에 의존하는 것으로 알려져 있음에도 불구하고 여전히 많이 사용되고 있습니다. 우리는 가변적인 민감성이 존재할 때 적용된다는 것을 증명하는 새로운 공식을 확립했습니다. 단순화된 모델인 SIR with ASI가 가변적인 사회적 혼합 패턴을 포함하는 모델을 대체할 수 있는 것으로 보이므로 수학적으로 증명할 수 있는 것보다 (2)가 더 일반적으로 적용될 수 있습니다.

참고자료

1. Kermack WO, McKendrick AG. 전염병의 수학적 이론에 대한 공헌. 런던 왕립학회 회보 시리즈 A, 수학적, 물리적 성격의 논문을 포함합니다. 1927; 115(772):700–721.

2. Kermack WO, McKendrick AG. 전염병의 수학적 이론에 대한 공헌 II. 풍토성의 문제. 수학적 및 물리적 성격의 논문을 포함하는 런던 왕립 학회 시리즈 A의 회보. 1932; 138(834):55–83.

3. Kermack WO, McKendrick AG. 전염병의 수학적 이론에 대한 공헌 III. 풍토성 문제에 대한 추가 연구. 수학적 및 물리적 특성의 논문을 포함하는 런던 왕립 학회 시리즈 A의 회보. 1933년; 141(843):94–122.

4. Carlsson M, So¨derberg-Naucle'r C. 코로나19-19 모델링 결과와 스웨덴 바이러스 2022, 14(8), MDPI https://doi.org/10.3390/v14081840 PMID: 36016462

5. Diekmann O, Heesterbeek H, Britton T. 전염병 역학을 이해하기 위한 수학적 도구. In: 전염병 역학을 이해하기 위한 수학적 도구. 프린스턴 대학교 출판부; 2012.

6. Gerasimov A, Lebedev G, Lebedev M, Semenycheva I. 코로나-19 역학: 이질적인 모델. 공중 보건의 개척지. 2021; 8:911. https://doi.org/10.3389/fpubh.2020.558368 PMID: 33585377

7. Hickson R, Roberts M. 감수성과 감염성의 인구 이질성이 전염병 역학에 어떻게 영향을 미치는지. 이론 생물학 저널. 2014년; 350:70–80. https://doi.org/10.1016/j.jtbi.2014.01.014 PMID: 24444766

8. 밀러 JC. 이질적인 감염성과 감수성을 지닌 인구 집단의 전염병 규모와 확률. 물리적 검토 E. 2007; 76(1):010101. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.76.010101 PMID: 17677396

9. 밀러 JC. 전염병 최종 크기 도출에 대한 참고 사항. 수리 생물학 게시판. 2012; 74 (9):2125–2141. https://doi.org/10.1007/s11538-012-9749-6 PMID: 22829179

10. Britton T, Ball F, Trapman P. 수학적 모델은 SARS-CoV-2에 대한 집단 면역에 대한 인구 이질성의 영향을 보여줍니다. 과학. 2020; 369(6505):846–849. https://doi.org/10.1126/ science.abc6810 PMID: 32576668

11. Rousse F 외. SARS-CoV-2 모델링에서 슈퍼 전파자의 역할. 전염병 모델링(2022). https://doi.org/10.1016/j.idm.2022.10.003 PMID: 36267691

12. Thompson R, Stockwin J, van Gaalen RD, Polonsky J, Kamvar Z, Demarsh P 등. 전염병이 발생하는 동안 시간에 따라 변하는 재생산 수에 대한 추론이 향상되었습니다. 전염병. 2019; 29:100356. https://doi.org/10.1016/j.epidem.2019.100356 PMID: 31624039

13. Cori A, Ferguson NM, Fraser C, Cauchemez S. 전염병 동안 시간에 따라 변하는 재생산 수를 추정하는 새로운 프레임워크 및 소프트웨어. 미국 역학 저널. 2013년; 178(9):1505-1512. https://doi.org/10.1093/aje/kwt133 PMID: 24043437

14. Fox JP, Elveback L, Scott W, Gatewood L, Ackerman E. 집단 면역: 공중 보건 예방접종 관행에 대한 기본 개념 및 관련성. 미국 역학 저널. 1971년; 94(3):179–189. https://doi.org/10.1093/oxfordjournals.aje.a121310 PMID: 5093648

15. Dee K, Goldfarb DM, Haney J, Amat JA, Herder V, Stewart M 등. 인간 라이노바이러스 감염은 호흡기 상피 내 SARS-CoV-2 복제를 차단합니다. 이는 코로나-19 역학에 대한 영향입니다. 전염병 저널. 2021. https://doi.org/10.1093/infdis/jiab147 PMID: 33754149

16. Ng KW, Faulkner N, Cornish GH, Rosa A, Harvey R, Hussain S, 외. 인간의 SARS-CoV-2에 대한 기존 및 새로운 체액성 면역. 과학. 2020; 370(6522):1339~1343. https://doi.org/10.1126/ science.abe1107 PMID: 33159009

17. Zeberg H, Pa¨a¨bo S. 심각한 코로나19에 대한 보호와 관련된 게놈 영역-19은 네안데르탈인에게서 물려받았습니다. 국립과학원(National Academy of Sciences)의 간행물. 2021; 118(9). https://doi.org/10. 1073/pans.2026309118 PMID: 33593941

18. Kundu, Rhia, et al. 교차 반응 기억 T 세포는 COVID-19 접촉 시 SARS-CoV-2 감염에 대한 보호와 연관됩니다. 네이처 커뮤니케이션즈 13.1(2022): 1–8. https://doi.org/10.1038/s41467- 021-27674-x PMID: 35013199

19. Brauer F, Castillo-Chavez C, Feng Z. 전염병학의 수학적 모델. 뛰는 것; 2019.

20. 워커 PG, 휘태커 C, 왓슨 OJ, 바겔린 M, 윈스킬 P, 햄릿 A, 외. 코로나19의 영향-19과 저소득 및 중간 소득 국가의 완화 및 억제 전략. 과학. 2020. https://doi.org/10.1126/science.abc0035 PMID: 32532802

21. Sjodin H, Johansson AF, Brannstrom Å, Farooq Z, Kriit HK, Wilder-Smith A 등. 비의약품 완화 및 억제 시나리오에 따른 스웨덴의 코로나-19 의료 수요 및 사망률. 국제 역학 저널. 2020. https://doi.org/10.1093/ije/dyaa121 PMID: 32954400

22. Hassan Md Nazmul 외. 미국 텍사스의 수학적 모델링 및 코로나{1}} 예측: 예측 모델 분석 및 질병 발생 확률. 재난 의학 및 공중 보건 대비(2021): 1–12. https://doi.org/10.1017/dmp.2021.151 PMID: 34006346

23. Mahmud Md Shahriar 외. 세션 2020-2026 동안 캘리포니아와 미국의 백신 효능 및 sars-cov-2 제어: 모델링 연구. 전염병 모델링 7.1(2022): 62-81. https://doi.org/10. 1016/j.idm.2021.11.002 PMID: 34869959

24. Gudbjartsson DF, Norddahl GL, Melsted P, Gunnarsdottir K, Holm H, Eythorsson E, 외. 아이슬란드의 SARS-CoV-2에 대한 체액성 면역 반응. 뉴잉글랜드 의학저널. 2020; 383(18):1724–1734. https://doi.org/10.1056/NEJMoa2026116 PMID: 32871063

25. Dan JM, Mateus J, Kato Y, Hastie KM, Yu ED, Faliti CE 등 SARS-CoV-2에 대한 면역학적 기억은 감염 후 최대 8개월 동안 평가됩니다. 과학. 2021. https://doi.org/10.1126/science.abf4063 PMID: 33408181

26. 9개월 후에 면역성을 키워줍니다. Danderyds 병원 보도 자료. Webbadress: www.ds.se/jobbahos-oss/mot-oss/bred-immunitet-efter-nio-manader/

27. Folkha¨lsmyndigheten. 코로나19 이후 안티크롭파에 대한 예방 조치-19 및 바이러스 방지.

28. Madewell ZJ, Yang Y, Longini IM, Halloran ME, Dean NE. SARS-CoV-2의 가구 전파: 체계적인 검토 및 메타 분석. JAMA 네트워크 오픈. 2020; 3(12):e2031756–e2031756. https://doi.org/10.1001/jamanetworkopen.2020.31756 PMID: 33315116

29. Ferguson N, Laydon D, Nedjati-Gilani G, Imai N, Ainslie K, Baguelin M, 외. 보고서 9: 비약물적 개입(NPI)이 코로나19-19 사망률과 의료 수요를 줄이는 데 미치는 영향. 임페리얼 칼리지 런던. 2020; 10(77482):491–497.

30. Carlsson M, Hatem G, So¨derberg-Naucle'r C. 수학적 모델링은 SARS-CoV-2에 대한 기존 면역성을 시사합니다. medRxiv. 2021.

31. Doshi P. Covid-19: 많은 사람들이 기존 면역력을 갖고 있습니까? Bmj. 2020; 370. PMID : 32943427

32. Jones TC, Biele G, Mu¨hlemann B, Veith T, Schneider J, Beheim-Schwarzbach J 등. SARS-CoV-2 감염 과정 전반에 걸쳐 감염성을 추정합니다. 과학. 2021. https://doi.org/10.1126/science. abi5273 PMID: 34035154

33. 파인 P, 임스 K, 헤이만 DL. "군집 면역": 대략적인 가이드. 임상 전염병. 2011; 52 (7):911-916. https://doi.org/10.1093/cid/cir007 PMID: 21427399