알려지지 않은 다중성의 근을 추정하기 위한 효율적인 전략으로 슈뢰더의 방법을 기억하기
Aug 31, 2023
추상적인:
이 논문에서 우리는 우리가 아는 한, 문헌에 존재하는 다양성이 알려지지 않은 근을 찾기 위한 메모리를 갖춘 최초의 반복 체계를 제안합니다. Schröder로 인해 메모리가 없는 유사한 절차의 효율성을 향상시키며 유사한 특성을 가진 고차 방법을 생성하기 위한 시드로 간주될 수 있습니다. 일단 수렴 순서를 연구하면 좋은 특성을 보여줌으로써 안정성을 분석하고 여러 근을 찾는 기억 없이 비슷한 방식으로 끌어당김 유역을 수치적으로 비교합니다.
기억은 인간 지능의 중요한 부분이며 인간의 학습, 사고, 창조 및 삶에 꼭 필요한 것입니다. 그러나 많은 사람들은 자신의 기억력이 부족하여 중요한 것을 잊어버리는 경우가 많습니다. 메모리의 품질은 메모리의 반복과 밀접한 관련이 있습니다.
소위 기억의 반복이란 특정 지식이나 기술을 반복적으로 학습하는 과정에서 기억이 지속적으로 강화되고 강화되어 최종적으로 장기 기억으로 전환되는 것을 말합니다. 이 과정은 기억을 통합하는 데 도움이 될 뿐만 아니라 기억의 양과 질도 향상시킵니다.
그렇다면 메모리를 잘 반복하는 방법은 무엇입니까? 우선, 학습 내용을 완벽하게 이해하는 것이 필요합니다. 깊은 이해를 통해서만 지식이 마음에 진정으로 각인되고 망각을 피할 수 있습니다. 둘째, 계속해서 검토하세요. 학습한 지식을 반복적으로 복습하는 것은 뇌가 지식 인식, 추론, 이해에 대한 인상을 심화시켜 장기 기억력을 향상시키는 데 도움이 됩니다. 마지막으로 다양한 방법을 사용하여 메모리 반복을 지원합니다. 예를 들어, 마인드맵 만들기, 다시 말하기 등을 통해 기억력을 더욱 심층적으로 만들 수 있습니다.
간단히 말해서, 반복 메모리는 지속적인 노력과 끈기가 필요한 복잡하고 중요한 프로세스입니다. 반복 기억을 삶의 방식으로 취급하고 이를 일상 학습, 일, 생활의 모든 측면에 통합함으로써만 우리는 지속적으로 기억력을 향상시키고, 복잡한 학습 및 업무 과제에 더 잘 대처할 수 있으며, 새로운 개인 스타일을 보여줄 수 있습니다. 고기 페이스트는 많은 독특한 효과를 가지고 있는 중국의 전통 약재이며, 그 중 하나는 기억력 향상입니다. 다진 고기의 효능은 카르복실산, 다당류, 플라보노이드 등 포함된 다양한 활성 성분에서 비롯됩니다. 이러한 성분은 다양한 경로를 통해 뇌 건강을 증진할 수 있습니다.
키워드:
비선형 방정식; 메모리를 이용한 반복 방법; 여러 뿌리; 파생물 없음; 능률; 안정.
1. 소개
비선형 방정식 f(x)=0의 다중 근을 추정하기 위해 설계된 도함수를 포함하거나 포함하지 않거나 메모리가 없는 수많은 반복 방법이 문헌(예: 참고 문헌 [1-8] 참조)에 존재하지만, 그들 중 대부분은 이러한 뿌리의 다양성에 대한 지식이 필요합니다.
Schröder 방법[9]은 다음과 같이 잘 알려져 있습니다.
실수 매개변수이기 때문에 단계당 4번의 함수 평가가 필요하며 더 이상 파생물이 없습니다. g에 대한 Traub-Steffensen 방법은 너무 비싸서 더 이상 고려되지 않습니다.
슈뢰더 방식의 가장 큰 장점은 다중 근에 대한 수정된 뉴턴 방법과 달리 비선형 함수의 다중성에 대한 지식의 독립성입니다.
여기서 m은 의 다중도이며, 이 경우에는 이를 알아야 합니다. 이 계획은 또한 Schröder에 의한 것이며(참조 [9] 참조) 이를 SM2로 표시합니다. 이 체계는 2차 수렴적이므로 Kung-Traub 추측의 의미에서 최적입니다(반복당 두 개의 새로운 기능 평가를 사용하므로 참조 [10] 참조). 그러나 다중성에 대한 지식이 필요한 반면 SM1은 이를 사용하지 않습니다. 그럼에도 불구하고 SM1 방식의 주요 단점은 반복마다 3개의 비선형 함수(f(x), f 0 (x) 및 f00(x))를 평가해야 하기 때문에 효율성이 낮다는 것입니다.
이 원고의 목표는 두 가지입니다. 한쪽에서는 m을 모르고 다중성 m의 여러 근을 찾을 수 있는 능력을 보유하고 다른 쪽에서는 동일한 알고리즘으로 결합하여 SM1 체계의 효율성을 높이고 싶습니다. 두 번 이상의 이전 반복을 사용하여 여러 근을 찾는 기능입니다. 따라서 우리는 알려지지 않은 다중성의 다중 근을 추정하기 위해 메모리를 갖춘 반복 방식을 제안합니다. 우리가 아는 한, 이러한 특성을 만족하는 반복 절차는 문헌에 없습니다.
제안된 방식의 수렴을 분석할 때 몇 가지 측면을 고려해야 합니다. 이는 메모리를 사용하는 반복 방법이므로 이전 여러 반복의 오류를 고려해야 하며 루트 m의 다중성도 핵심 요소가 되어야 합니다. 시연의 구체적인 가치는 알려져 있지 않지만. 이 사실과 관련하여 f(q)( ) {{0}} for q=1, 2, . . . , m − 1 및 f (m) ( ) 6= 0. 따라서 반복 표현식에 나타나는 f 및 f 0 주변의 Taylor 확장은 이 정보를 고려해야 합니다.
반면, 우리가 제안한 방식은 다음 반복을 계산하기 위해 이전 세 번의 반복을 사용하는 반복 절차이므로 해당 오류로 오류 방정식을 표현하고 이로부터 수렴 순서를 추론해야 합니다. 이는 아래 제시된 Ortega 및 Rheinboldt [11]의 고전적인 결과를 사용하여 수행되었습니다.
정리 1. ψ를 근 에 대한 근사값 시퀀스 {xk}를 생성하는 메모리가 있는 반복 방법이라고 가정하고 이 시퀀스를 로 수렴하도록 합니다. 0이 아닌 상수 eta와 양수 ti가 존재하는 경우, i=0, 1, . . . , m, 불평등
이 원고에서 섹션 2는 다중 근을 찾기 위한 메모리를 갖춘 제안된 도함수 없는 반복 방법의 설계 및 수렴 분석에 전념합니다(다중성에 대한 지식 없이). 섹션 3에서는 단순근과 다중근 모두에 대한 초기 추정에 대한 의존성을 추론하기 위해 안정성을 분석합니다. 섹션 4에서는 기존 Schröder 방법과 비교하여 분석 중인 여러 테스트 기능과 해당 유역에 대한 수치 성능을 확인합니다.
2. 디자인과 융합분석
우리의 출발점은 Traub [12]로 인한 메모리가 있는 미분 없는 방식입니다.
이 방식의 가장 큰 장점은 다중성에 대한 지식 없이도 비선형 함수의 단순 근과 다중 근을 SM1보다 효율적으로 찾을 수 있다는 것입니다. 확실히 Ostrowski의 효율성 지수[13]를 사용하면 ISM1=2 1 3 ≒ 1.25992가 IgTM=1.841 2 ≒ 1.35647보다 낮습니다. 여기서 각 지수 I는 p 1 d로 계산됩니다. 방법의 수렴 순서이고 d는 반복당 새로운 기능 평가의 양입니다.
다음 섹션에서는 이 체계에 대한 동적 분석을 수행하여 단순 및 다중 루트에 대한 질적 성능을 보여줍니다. 기억을 이용한 반복적인 방법이기 때문에 다차원적인 실제 역학을 사용해야 합니다.
3. 다중 근에 대한 메모리를 이용한 제안된 반복 방법의 질적 연구
우리의 방법은 다음을 생성하기 위해 세 번의 이전 반복을 사용한다는 점을 언급해 보겠습니다. 그러므로 일반적으로 다음과 같이 표현될 수 있다.
여기서 x0, x−1, x−2는 초기 추정치입니다. 참고문헌 [14]에 정의된 절차를 사용하면 이 방법을 이산 실제 다차원 동적 시스템으로 설명할 수 있으며 그 정성적 거동을 분석할 수 있습니다.
동적 시스템의 질적 성능은 안정성 측면에서 고정점의 특성을 결정하는 핵심 요소입니다. 1 SF Υ의 고정점을 계산하기 위해 다음을 사용하여 1 SF Υ와 관련된 보조 벡터 함수 M: R3 −→ R3을 정의할 수 있습니다.
더욱이, 고정점 x 에서 평가된 야코비 행렬 M{{0}}의 고유값 λi가 |λi|< 1이고 다른 하나는 |λj|> 1이면 x *를 안장 고정점이라고 합니다. 1차원 동역학 개념의 확장으로서, M0(x ✽)의 고유값이 |λj|j=1, 2, 의 모든 값에 대한=0. . . , m이면 고정점 x *는 끌어당길 뿐만 아니라 초유인이기도 합니다. 따라서 이 방법은 적어도 유리함수를 유도하는 비선형 함수 클래스에 대해 2차 수렴을 갖습니다(참조 [12] 참조).
x *를 M의 고정된 끌어당김 점으로 고려함으로써, 그 끌어당김 유역 A(x *)는 임의 차수의 사전 이미지 집합으로 정의됩니다.
여러 근을 갖는 비선형 방정식을 풀기 위해 설계된 다양한 반복 방식의 질적 성능은 여러 저자에 의해 연구되었습니다(예를 들어 참고문헌 [17-19] 참조). 이 모든 체계에는 메모리가 없기 때문에 이산 복합 역학을 사용하여 만들어졌습니다. 이 연구에서 다중 근을 찾기 위해 설계된 반복 방법(기억 없음)이 단순 근과 다중 근 모두를 포함하는 비선형 함수에 작용할 때 단순 근의 유인 유역이 더 좁은 것이 매우 일반적이라는 것이 밝혀졌습니다. 뿌리가 여러 개인 것. 실제로 이러한 단순근은 반발력이 있는 유리함수의 고정점을 정의할 수 있습니다. 따라서 반복 방법은 여러 개의 근만 찾을 수 있어야 합니다.
p(x)=(x + 1)(x − 1) m, m 1보다 크거나 같음에 대해 다음과 같은 정성 분석이 수행됩니다. 다중 근(다중도 m)이 테스트됩니다.
분석 결과를 시각화하는 매우 유용한 도구는 다양한 인력 유역 세트로 구성된 시스템의 동적 평면입니다. 여기서, 제안된 방법 gTM의 동적 평면은 시작 그리드에서 고정된 w 값에 대해 800 × 800 시작점(z, x)의 메쉬 궤도를 계산하여 구축됩니다. 반복 방식은 세 가지 초기 추정으로 시작해야 하므로 동적 평면의 메시를 생성합니다. 각 평면은 간격 [-1.75, 1.75]에서 고정된 w 값을 갖습니다. 이러한 위상 초상화에서 메쉬의 각 점은 수렴하는 어트랙터(흰색 별로 표시됨)에 따라 서로 다른 색상(이 경우 주황색과 녹색)으로 칠해지며 허용 오차는 10-3입니다. 또한 최대 500번의 반복 동안 궤도가 매력적인 고정점에 도달하지 못한 경우 검정색으로 표시됩니다. w의 고정된 값이 [-1.75, 1.75]에 속하는 값의 벡터에서 변경됨에 따라 각 다중도에 대한 그림의 구성이 생성되어 일종의 등고선 플롯이 생성됩니다.
그림 1에서는 p(x)에 대한 gTM 방식, 즉 단순근에 대한 유리 연산자 TM의 성능을 보여줍니다. [−2, 2]에서 각각 변화하는 세 개의 첫 번째 반복을 사용하여 서로 다른 플롯의 동작을 관찰하면 안정적인 타당성이 나타납니다. 뿌리의 매력의 유역은 유일한 것입니다. 그들은 넓고 유일하게 다른 성능(유역 간 경계의 단순성 측면에서 다른 성능보다 우수함)은 유리 함수가 단순화된 w=0의 경우입니다. 모든 경우에 gTM 방법의 유일한 가능한 동작은 근으로의 수렴이라는 것이 관찰되었습니다.
반면, 그림 2에서는 루트 중 하나가 double이고 다른 하나가 단순할 때 매우 유사한 성능을 보여줍니다. 끌어당김의 유역은 똑같이 넓으며, 이 행동은 다른 다양성을 탐구할 때 매우 유사합니다. 또한, 이 경우 인력 유역 경계의 복잡성이 높아 어두운 영역에서는 수렴 속도가 느려지므로 뿌리로만 수렴하는 것을 알 수 있습니다.
4. 수치적 성능 및 동적 테스트
이 섹션에서는 SM2(다중성에 대한 지식이 필요함), SM1 및 gTM(Traub의 방법에서 파생됨)의 세 가지 방법을 비교합니다. 마지막 두 가지 방법은 다중성에 대한 지식이 필요하지 않지만 반복 단계당 추가 기능 평가가 필요합니다(SM1의 경우 3개, gTM의 경우 2개).
이 방법은 매력 수치의 유역을 통해 질적으로 비교되고 여러 측정을 통해 정량적으로 비교됩니다. 이러한 측정값은 원점 중심에 있는 6 x 6 정사각형의 지점에서 메서드를 실행하는 CPU 런타임입니다. 우리는 정사각형을 균일하게 분포된 수평선과 수직선으로 나누고 모든 교차점을 반복 프로세스의 초기점으로 사용했습니다.
메모리가 있는 방법인 TM의 경우 두 개의 추가 시작점 x−1=x0 + d 및 x−2=x0 + 2d를 가져와야 했습니다. 여기서 d는 줄의 간격. 코드에서 수집한 또 다른 기준은 AIPP(평균 반복 횟수)이지만, 방법에 따라 단계당 기능 평가 횟수가 다르기 때문에 AFPP(포인트당 평균 함수 수)를 사용했습니다. 세 번째 기준은 발산점 수(DP)로, 허용오차 10-7을 사용하여 40회 반복 동안 수렴하지 않은 점 수입니다.
그림 3에 따르면 SM1과 SM2는 유사한 유역을 가지고 있으며 gTM은 두 유역 사이의 경계에 더 많은 돌출부를 가지고 있음이 분명합니다. 그림 4에서 gTM이 SM1보다 우수하다는 것을 알 수 있습니다. 다음 3개 그림에서는 유인 유역이 더 넓고 뿌리까지 수렴되지 않는 검은색 영역이 더 좁은 gTM이 가장 좋습니다. 이 성능은 비다항식 함수 f5에 대해서도 유지됩니다. 또한 그림 8에서는 SM2 방법의 유역이 gTM 방법보다 넓다는 것을 알 수 있습니다.
이제 표 1~3의 데이터를 참조하겠습니다. CPU 런타임(초)은 표 2에 나와 있습니다. SM2는 다른 것보다 지속적으로 빠릅니다. 다중도를 알 수 없는 경우 첫 번째 예를 제외하고 gTM이 SM1보다 빠릅니다. 평균적으로 gTM은 SM1보다 빠릅니다.
포인트당 평균 함수 평가 횟수(표 2 참조)는 모든 예에서 SM1이 가장 높습니다. 마지막 예는 모든 방법에 대해 가장 어렵다는 점에 유의하십시오. 발산 포인트 수는 예시 1, 3, 4에서 gTM이 가장 낮습니다. SM1은 처음 6개 예시에서 가장 발산 포인트를 가지고 있지만, 마지막 예시에서는 gTM의 성능이 저조하여 전체 3위를 차지했습니다. 평균적으로 SM2 방법이 3개 범주에 가장 적합했고 그 다음이 gTM이 2개 범주에 가장 좋았습니다.
5. 결론
단순 근과 다중 근(다중성을 알 필요 없이)을 모두 찾을 수 있는 기능을 갖춘 메모리를 갖춘 새로운 반복 체계가 구축되었습니다. 우리가 아는 한, 이는 문헌에서 이러한 특성을 지닌 최초의 방법입니다. 수렴 차수는 반복당 두 개의 새로운 기능 평가를 통해 대략 1.84인 것으로 입증되었습니다. 이는 유사한 특성을 갖는 메모리 SM1 없이 슈뢰더 방식의 효율성을 향상시키는 방식을 생성합니다. 다차원 실수 이산 역학과 단순 근과 다중 근을 갖는 저차수 다항식을 사용하여 제안된 방식의 안정성이 분석되었으며 두 종류의 근에 대한 광범위한 수렴 영역을 보여줍니다.
마지막 섹션에서 여러 예를 실행하는 Schröder 및 gTM 방법을 통해 다중성이 미리 알려진 경우 gTM이 SM1보다 우수하더라도 SM1과 gTM은 경쟁할 수 없다는 결론을 내릴 수 있었습니다. 그러나 다중도를 알 수 없는 경우 제안된 방법 gTM은 실행 시간, 계산 비용 및 유역의 넓이 측면에서 SM1 방법보다 매우 좋은 성능과 더 나은 효율성을 나타냅니다.
저자 기여:
개념화, AC 및 JRT; 방법론, BN; 소프트웨어, AC 및 BN; 검증, BN; 형식분석, JRT; 조사, AC; 작문 - 원본 초안 준비, AC 및 BN; 쓰기-검토 및 편집, JRT; 감독, BN 및 JRT 모든 저자는 출판된 원고 버전을 읽고 동의했습니다.
자금:
이 연구는 PGC2018-095896-B-C22(MCIU/AEI/FEDER, UE)의 일부 지원을 받았습니다.
사전 동의서:
해당되지 않습니다.
감사의 말씀:
저자들은 이 원고의 최종 버전을 개선하는 데 도움을 준 익명의 검토자들에게 감사의 말씀을 전하고 싶습니다.
이해 상충:
저자는 이해 상충을 선언하지 않습니다.
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For more information:1950477648nn@gmail.com
